مقالة في الرياضيات: هل الرياضيات معطى حسي ام تجريبي؟
طرح المشكلة:
منذ أن كتب أفلاطون على باب أكاديميته من لم يكن رياضيا لا يطرق بابنا. والرياضيات تحتل المكانة الأولى بين مختلف العلوم باعتبار ان الرياضيات علم من العلوم التجريدية التي تتعلق بالمقادير الكمية ، والتي تبحث في الرموز المجردة ومجالها العقلي البحت .وإذا كان لكل شيء أصل .ولكل علم مصدر فما أصل الرياضيات وما مصدر مفاهيمها ؟فهل ترتد كلها إلى العقل الصرف الخالص, أم إلى مدركاتنا الحسية والى ما ينطبع في أذهاننا من صور استخلصنها من العالم الخارجي ؟ وبعبارة أخرى هل الرياضيات مستخلصة في أصلها البعيد من العقل أم من التجربة؟
محاولة حل المشكلة:
الطرح الاول:
يرى الطرح العقلي والمثالي بزعامة افلاطون وديكارت وبوان كاري ان اصل الرياضيات يعود الى العقل وانها موجودة منذ الازل وبعيدة كل البعد عن التجربة الحسية .
فعملية الجمع والطرح والمستقيم والمثلث هي المعاني الرياضية حاصلة في العقل والفطرة وقد اثبت افلاطون في محاورته مينون ان العلم قائم بالنفس للفطرة والتعلم مجرد تذكر له وليس اكتساب من الواقع حيث يقول " ان المعرفة تذكر" كما ان الوقع يثبت ان الرياضيات تتعامل بالمجرد خضوع لقوانين مطقية تجعلها بعيدة عن الواقع الحسي ولدينا روني ديكارت الذي حاول ان يوضح لنا ان الرياضيات نابعة من افكار الفطرية شانها شان فكرة الله ومعنى هذا ان الرياضيات تاسست من افكار فطرية وانها بعيدة عن مجال الملموس الخارجي.
النقد: لكن الرياضيات بمفاهيمها المختلفة وكلما تتمتع به من تجريد الا انها ليست مستقلة عن معطيات حسية فالدراسات المتتبعة للفكر الرياضي تكشف جوانبه العملية والتطبيقية.
الطرح الثاني:
يرى الطرح الثاني الذي يمثله جون لوك وماركس وجون سارتل ان اصل الرياضيات هو التجربة أي حسي .
ان الرياضيات القديمة استخدمت طرق تطبيقية في مسح الاراضي الزراعية فكانت وليدة الملاحظة المباشرة مثل نشاة الهندسة في مصر في القديم على فن المساحة فمعنى هذا ان الرياضيات كانت تجربة خاضعة لتاثيرات صناعية عملية وهذا ماجعل اليونانيون يركزون في صلحهم الرياضي النظري على الرياضيات العملية فيرى جورج سارتل" ان الوقائع الرياضية ليست وليدة العقل وانما من الممارسة اليومية العملية" حيث ان بداية الرياضيات كانت بداية حسية انطلاقا من تعامل الانسان مع الاشياء فالمعرفة الرياضية تكمن في التجرية الخارجية.
النقد:
لكن التصورات التي تربط كل من الهندسة والحساب بالتطبيقات العملية تختلف عن تصورات الرياضية الحديثة حيث اصبحت ماهية ذهنية مجردة
حل المشكلة:
حقيقة ان التجربة كانت المنطلق للتفكير الرياضي ، ولكن من هذا المنطلق تجردت الرياضيات تجريدا بعيدا عن الواقع الحسي ، ولهذا فاللغة الرياضية تبقى هي الاساس في معرفة العالم المحسوس.
هل البديهيات دوما صحيحة
طرح المشكلة :
تعتبر الرياضيات علم النظام والقياس حيث تدرس الكم بنوعين المتصل ( الهندسة ) والمنفصل (الجبر)
وقد عرفت الرياضيات تطورا هاما على مستوى الموضوع والمنهج خاصة بعد ظهور مفهوم النسق الرياضي هذا ما اثار تساؤولات حول اليقين الرياضي وفتح المجال الى طرح الاشكال الاتي:هل حافظت الرياضيات على يقينها في ظل تعدد الانساق الرياضية ؟او هل البديهيات دوما صحيحة؟
محاولة حل المشكلة :
ترى الاطروحة الاولى التي يمثلها الاتجاه الاقليدي ان اليقين الرياضي مطلق وصدق القضايا مرتبط بانسجامه مع الواقع وان المبادئ الرياضية فطرية وليست من انشاء العقل وقد فصل إقليدس بين البديهيات والمسلمات والتعريفات حيث اعتبر البديهية دوما صحيحة (الكل اكبر من الجزء) وهي مسلماته على تصورة للمكان على انه مستوي لذلك قال انه من نقطة خارج مستقيم لا يمكن ان نرسم الا مستقيم واحد يوازي هذا المستقيم وتكون زوايا المثلث تساوي 180° ومنهج استخلاص الاحكام الرياضية هو فرض استنباطي.
النقد:لكن تطور العلم فيما بعد اثبت محدودية التصور الرياضي الاقليدي خاصة بعد ظهور النظريان الرياضية الحديثة وتعدد انساقها.
الطرح الثاني:
ومن هذا يرى نقيض الاطروحة التي يمثلها التيار اللاقليدي ان الرياضيات الحديثة اصبحت مجرد فرضية استنتاجية حيث لم يعد هناك يقين مطلق نظرا لتعدد النظريات الرياضية في انساق مختلفة كلها صحيحة حيث اصبحت المفاهيم الرياضية من انشاء العقل واصبح منهجها فرض استنتاجي ولم تعد البديهيات صحيحة وثابتة بل تغيرت (رياضيات لوبا شوفسكي) حيث من نقطة خارج مستقيم يمكن ان نرسم عدد لا يحصى من المستقيمات الموازية له وتكون زاويا المثلث اقل من 180° ( رياضيات ريمان) حيث من نقطة خارج مستقيم لا يمكن ان ترسم ولا مستقيم واحد موازي له حيث تكون زوايا المثلث اكبر من 180° .
كما تغيرت البديهيات حيث اصبح الكل يساوي الجزء او اقل منه وبهذا اصبح اليقين مرتبط بالنسق او ما يعرف بالمنهج الاكسيومي الذي هو مجموعة من الفرضيات ينطلق منها الرياضي في بناء نسقه الرياضي ويعتبر صحيحا بشرط ان لا تتعارض المقدمات مع النتائج.
النقد:
لكن رغم وصول الرياضيات الى ممفهوم النسق والمجموعان فلذلك لا يعني التخلي نهائيا عن رياضيات اقليدس التي تبقى موجودة وان كان مجالها محدود.
حل المشكلة:
الرياضيات اصبحت تدرس وفق نظام المجموعات مما يعني انها اصبحت مجرد فرضية استنتاجية قائمة على تعدد الانساق الرياضية وذلك لا يقلل من قيمة اليقين الرياضي بل اصبحت اكثر مصداقية.
طرح المشكلة:
منذ أن كتب أفلاطون على باب أكاديميته من لم يكن رياضيا لا يطرق بابنا. والرياضيات تحتل المكانة الأولى بين مختلف العلوم باعتبار ان الرياضيات علم من العلوم التجريدية التي تتعلق بالمقادير الكمية ، والتي تبحث في الرموز المجردة ومجالها العقلي البحت .وإذا كان لكل شيء أصل .ولكل علم مصدر فما أصل الرياضيات وما مصدر مفاهيمها ؟فهل ترتد كلها إلى العقل الصرف الخالص, أم إلى مدركاتنا الحسية والى ما ينطبع في أذهاننا من صور استخلصنها من العالم الخارجي ؟ وبعبارة أخرى هل الرياضيات مستخلصة في أصلها البعيد من العقل أم من التجربة؟
محاولة حل المشكلة:
الطرح الاول:
يرى الطرح العقلي والمثالي بزعامة افلاطون وديكارت وبوان كاري ان اصل الرياضيات يعود الى العقل وانها موجودة منذ الازل وبعيدة كل البعد عن التجربة الحسية .
فعملية الجمع والطرح والمستقيم والمثلث هي المعاني الرياضية حاصلة في العقل والفطرة وقد اثبت افلاطون في محاورته مينون ان العلم قائم بالنفس للفطرة والتعلم مجرد تذكر له وليس اكتساب من الواقع حيث يقول " ان المعرفة تذكر" كما ان الوقع يثبت ان الرياضيات تتعامل بالمجرد خضوع لقوانين مطقية تجعلها بعيدة عن الواقع الحسي ولدينا روني ديكارت الذي حاول ان يوضح لنا ان الرياضيات نابعة من افكار الفطرية شانها شان فكرة الله ومعنى هذا ان الرياضيات تاسست من افكار فطرية وانها بعيدة عن مجال الملموس الخارجي.
النقد: لكن الرياضيات بمفاهيمها المختلفة وكلما تتمتع به من تجريد الا انها ليست مستقلة عن معطيات حسية فالدراسات المتتبعة للفكر الرياضي تكشف جوانبه العملية والتطبيقية.
الطرح الثاني:
يرى الطرح الثاني الذي يمثله جون لوك وماركس وجون سارتل ان اصل الرياضيات هو التجربة أي حسي .
ان الرياضيات القديمة استخدمت طرق تطبيقية في مسح الاراضي الزراعية فكانت وليدة الملاحظة المباشرة مثل نشاة الهندسة في مصر في القديم على فن المساحة فمعنى هذا ان الرياضيات كانت تجربة خاضعة لتاثيرات صناعية عملية وهذا ماجعل اليونانيون يركزون في صلحهم الرياضي النظري على الرياضيات العملية فيرى جورج سارتل" ان الوقائع الرياضية ليست وليدة العقل وانما من الممارسة اليومية العملية" حيث ان بداية الرياضيات كانت بداية حسية انطلاقا من تعامل الانسان مع الاشياء فالمعرفة الرياضية تكمن في التجرية الخارجية.
النقد:
لكن التصورات التي تربط كل من الهندسة والحساب بالتطبيقات العملية تختلف عن تصورات الرياضية الحديثة حيث اصبحت ماهية ذهنية مجردة
حل المشكلة:
حقيقة ان التجربة كانت المنطلق للتفكير الرياضي ، ولكن من هذا المنطلق تجردت الرياضيات تجريدا بعيدا عن الواقع الحسي ، ولهذا فاللغة الرياضية تبقى هي الاساس في معرفة العالم المحسوس.
هل البديهيات دوما صحيحة
طرح المشكلة :
تعتبر الرياضيات علم النظام والقياس حيث تدرس الكم بنوعين المتصل ( الهندسة ) والمنفصل (الجبر)
وقد عرفت الرياضيات تطورا هاما على مستوى الموضوع والمنهج خاصة بعد ظهور مفهوم النسق الرياضي هذا ما اثار تساؤولات حول اليقين الرياضي وفتح المجال الى طرح الاشكال الاتي:هل حافظت الرياضيات على يقينها في ظل تعدد الانساق الرياضية ؟او هل البديهيات دوما صحيحة؟
محاولة حل المشكلة :
ترى الاطروحة الاولى التي يمثلها الاتجاه الاقليدي ان اليقين الرياضي مطلق وصدق القضايا مرتبط بانسجامه مع الواقع وان المبادئ الرياضية فطرية وليست من انشاء العقل وقد فصل إقليدس بين البديهيات والمسلمات والتعريفات حيث اعتبر البديهية دوما صحيحة (الكل اكبر من الجزء) وهي مسلماته على تصورة للمكان على انه مستوي لذلك قال انه من نقطة خارج مستقيم لا يمكن ان نرسم الا مستقيم واحد يوازي هذا المستقيم وتكون زوايا المثلث تساوي 180° ومنهج استخلاص الاحكام الرياضية هو فرض استنباطي.
النقد:لكن تطور العلم فيما بعد اثبت محدودية التصور الرياضي الاقليدي خاصة بعد ظهور النظريان الرياضية الحديثة وتعدد انساقها.
الطرح الثاني:
ومن هذا يرى نقيض الاطروحة التي يمثلها التيار اللاقليدي ان الرياضيات الحديثة اصبحت مجرد فرضية استنتاجية حيث لم يعد هناك يقين مطلق نظرا لتعدد النظريات الرياضية في انساق مختلفة كلها صحيحة حيث اصبحت المفاهيم الرياضية من انشاء العقل واصبح منهجها فرض استنتاجي ولم تعد البديهيات صحيحة وثابتة بل تغيرت (رياضيات لوبا شوفسكي) حيث من نقطة خارج مستقيم يمكن ان نرسم عدد لا يحصى من المستقيمات الموازية له وتكون زاويا المثلث اقل من 180° ( رياضيات ريمان) حيث من نقطة خارج مستقيم لا يمكن ان ترسم ولا مستقيم واحد موازي له حيث تكون زوايا المثلث اكبر من 180° .
كما تغيرت البديهيات حيث اصبح الكل يساوي الجزء او اقل منه وبهذا اصبح اليقين مرتبط بالنسق او ما يعرف بالمنهج الاكسيومي الذي هو مجموعة من الفرضيات ينطلق منها الرياضي في بناء نسقه الرياضي ويعتبر صحيحا بشرط ان لا تتعارض المقدمات مع النتائج.
النقد:
لكن رغم وصول الرياضيات الى ممفهوم النسق والمجموعان فلذلك لا يعني التخلي نهائيا عن رياضيات اقليدس التي تبقى موجودة وان كان مجالها محدود.
حل المشكلة:
الرياضيات اصبحت تدرس وفق نظام المجموعات مما يعني انها اصبحت مجرد فرضية استنتاجية قائمة على تعدد الانساق الرياضية وذلك لا يقلل من قيمة اليقين الرياضي بل اصبحت اكثر مصداقية.