الإستمـراريـة تمارين في الرياضيات تحضير البكالوريا

نشاط 1: نعتبر الدالة المعرفة على كما يلي :

1. أحسب ؛ ؛ ؛ ؛
2. أرسم في معلم التمثيل البياني للدالة .
هل الدالة مستمرة على المجال ؟
الحل :
1. ؛ ؛ ؛
و .
2. انظر الشكل المقابل.نلاحظ أنه عند رسم المنحني الممثل
للدالة على المجال نقوم حتميا برفع القلم عند النقطة
ذات الفاصلة و بالتالي فالدالة ليست مستمرة على المجال
.
نشاط 2: نعتبر الدالة المعرفة على كما يلي:
1. حدد حسب قيم إشارة .
2. أدرس نهاية الدالة عند .
3. أدرس نهاية الدالة عند .
الحل:
1. نلاحظ أن و بتطبيق قاعدة إشارة ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية نحصل على:



+  +


2. لدينا: و
بما أنه من أجل ، فإن
و بما أنه من أجل ، فإن
3. لدينا: و
من الواضح أننا بصدد حالة عدم التعيين إلا أن تطبيق القاعدة يمكننا من إزالتها فنحصل على:



تعريـف:
. عدد حقيقي غير معزول من و دالـة معرفة على مجموعة
. ) يعني مستمرة عند (

ملاحظة:
. إذا كانت مستمرة عند كل عدد حقيقي من مستمرة على مجا ل نقول أن الدالة
مثال:
بـ :R الدالة المعرفة على لتكن
. عند أدرس استمرارية الدالة

الـحـل:
و

. مستمرة عند فـإ ن الدالة بما أن

الدالة المعرفة بـ: تمرين تطبيقي: لتكن

;


. عند أدرس استمرارية الدالة
الـحـل:
. ،R معرفة على الدالة
حساب

و لدينا :

أي ، لدينا : يختلف عن من أجل كل عدد حقيقي
ومنه

. مستمرة عند فـإن الدالة بما أن

خواص:
. عدد حقيقي من و دالتان معرفتان على مجا ل و
. مستمرتان عند و فإن الدالتين مستمرتين عند و إذا كانت


. مستمرتان عند و فإن الدالتين و مستمرتين عند و إذا كانت
. مستمرة عند فإن الدالة مستمرة عند و مستمرة عند إذا كانت
.R على مستمرة و الدوال كثيرات الحدود ، -
- الدوال المرجعية و الدوال الناطقة مستمرة على كل مجا ل من مجموعة تعريفها.
تمرين تطبيقي:
بـ: Rالمعرفة على المجا ل نعتبر الدالة
. R مستمرة على بيُن أن الدالة
الـحـل:
. R مستمرتان على و الدالتان
. R فهي مستمرة على Rهي جداء دالتين مستمرتين على الدالة
مبرهنة القيم المتوسطة:
. دالة معرفة على مجا ل مبرهنة:
،يوجد و محصور بين فإن من أجل كل عـدد حـقـيـقي المجال مستمرة على إذا كانت
. : بحيث و محصور بين على الأقل عـدد حقـيقي
التفـسـيـر الهـنـدسـي:


k










o a b
















. تـنـتـمي إلى في نقطة على الأقـل،فاصـلتها يقطع المنحني الممثل للدالة المستقيم ذو المعادلة
حالة خـاصة:
فإنه يوجد على الأقل عدد حقيقي وكان دالة مستمرة على المجال إذا كانت
. بحيث: و محصور بين
ملاحظة:
محصور بين ، فإنه من أجل كل عدد حقيقي دالة مستمرة ورتيبة تماما على المجال إذا كانت
. و يحقـق ينتمي إلى المجال ، يوجد عدد حقيقي وحيد و
. تقبل حلا وحيدا في المجال إذن المعادلة


تمرين تطبيقي:
. تـقبل حلا على الأقـل في المجال برهـن باستعمال مبرهنة القيم المتوسطة أن المعادلة
الـحـل:
بـ : Rهي الدالة المعرفة على حيث على الشكل يمكن كتابة المعادلة
.
. لأنها دالة كثير حدود فهي مستمرة على Rمستمرة على الدالة
و لدينا
و محصور بين العددين نلاحظ أن العدد
. تـقبل حلا على الأقـل في المجال إذن حسب مبرهنة القيم المتوسطة ، المعادلة
الدوال المستمرة والرتيبة تماما على مجال:
محصور بين فإنه من أجل كل عدد حقيقي دالة مستمرة و رتيبة تماما على مجال مبرهنـة: إذا كانت
. في المجال تقبل حلا وحيدا ، المعادلة و العددين
ملاحظة 1:
فإن جدول تغيراتها يأخذ الشكل: مستمرة ومتزايدة تماما على المجال إذا كانت الدالة









k




ملاحظة 2:
فإن جدول تغيراتها يأخذ الشكل: مستمرة و متناقصة تماما على المجال إذا كانت الدالة









k
















تمرين 01:
كما يلي: R دالة معرفة على

;


. عند أدرس استمرارية الدالة (1
؟ R مستمرة على f 2) هل الدالة
الـحـل:
، يكون لدينا: يختلف عن من أجل كل عدد حقيقي (1

ومنه
ومنه

. مستمرة عند إذن الدالة
مستمرة لأنها دالة ناطقة والدالة و مستمرة على المجالين الدالة ( 2
.R فهي مستمرة على عند
تمرين 02:
كما يلي: R دالة معرفة على

;


. عند أدرس استمرارية الدالة ( 1
؟ R مستمرة على f 2) هل الدالة
الـحـل:
، يكون لدينا: يختلف عن من أجل كل عدد حقيقي ( 1

ومنه
ومنه

. مستمرة عند إذن الدالة
مستمرة لأنها دالة ناطقة والدالة و مستمرة على المجالين الدالة ( 2
.R فهي مستمرة على عند
تمرين 03:
كما يلي: R دالة معرفة على

;


. عند أدرس استمرارية الدالة ( 1
؟ R مستمرة على f 2) هل الدالة
الـحـل:
، يكون لدينا: يختلف عن من أجل كل عدد حقيقي ( 1

ومنه
ومنه

. مستمرة عند إذن الدالة
مستمرة لأنها دالة ناطقة والدالة و مستمرة على المجالين الدالة ( 2
.R فهي مستمرة على عند
تمرين 04:
كما يلي : R المعرفة على نعتبر الدالة
؟R مستمرة على لماذا الدالة
الـحـل:
R مستمرة على الدالة
لأنها دالة كثير حدود. R مستمرة على الدالة
.R فهي مستمرة على Rهي جداء دالتين مستمرتين على الدالة
تمرين 05:
كما يلي :R المعرفة على نعتبر الدالة
. أدرس استمرارية الدالة
الـحـل:
،لدينا: من أجل كل عدد حقيقي
. R مستمرة على الدالة
.R لأنها دالة ناطقة معرفة على R مستمرة على الدالة
.R فهي مستمرة على Rهي جداء دالتين مستمرتين على الدالة


تمرين 06:
كما يلي : المعرفة على المجال نعتبر الدالة
هي دالة الجزء الصحيح . حيث
. بدون الرمز ، عبارةx أكتب ، حسب قيم (1
في معلم متعامد من المستوي . أرسم المنحنى الممثل للدالة (2
؟ المجال مستمرة على هل الدالة ( 3
مستمرة. عين المجالات التي تكون فيها (4
الـحـل:
لدينا:(1
إذا كان
إذا كان
إذن:
إذا كان
إذا كان
في معلم متعامد من المستوي. f رسم المنحنى الممثل للدالة (2

4

3

2

1






o 2 1 2













دون رفع القلم. في المجال 3) نلاحظ أنه لا يمكن رسم المنحنى الممثل للدالة
. ليست مستمرة على المجال إذن الدالة
. و المجالين مستمرة على الدالة ( 4
تمرين 07:
كما يلي: R دالة معرفة على

;



عند أدرس استمرارية الدالة
الـحـل:
غير معدوم،لدينا: من أجل كل عدد حقيقي




إذن:


. مستمرة عند فإن الدالة و بما أن

تمرين 08:
بـ : R المعرفة على نعتبر الدالة

;



. عند أدرس استمرارية الدالة
الـحـل:
، يكون لدينا: يختلف عن من أجل كل عدد حقيقي





إذن


. مستمرة عند فإن الدالة و بما أن



تمرين 09:
; بـ : R المعرفة على نعتبر الدالة

. R مستمرة على حتى تكون الدالة عين قيمة العدد الحقيقي
الـحـل:
. R* مستمرة على الدالة
. أي ، يجب أن تكون مستمرة عندR مستمرة على إذن حتى تكون الدالة

غير معدوم،لدينا: من أجل كل عدد حقيقي



إذن


. فإن و بما أن

تمرين 10:
بـ : R المعرفة على نعتبر الدالة
;
;

. مستمرة عند التي من أجلها تكون الدالة عين قيم العدد الحقيقي
الـحـل:
أي يجب أن يكون: مستمرة عند حتى تكون الدالة
أو إذن
تمرين 11:
. تقبل على الأقل حلا في المجال أثبت باستعمال مبرهنة القيم المتوسطة أن المعادلة
الـحـل:
بـ : Rهي الدالة المعرفة على حيث على الشكل يمكن كتابة المعادلة
.
. لأنها دالة كثير حدود فهي مستمرة على المجال R مستمرة على الدالة
و لدينا
و نلاحظ أن العدد 0 محصور بين العدديـن
. تـقبل حلا على الأقـل في المجال إذن حسب مبرهنة القيم المتوسطة ، المعادلة
تمرين 12:
. تقبل على الأقل حلا في المجال أثبت باستعمال مبرهنة القيم المتوسطة أن المعادلة
الـحـل:
حيث: على الشكل يمكن كتابة المعادلة
: بـ R هي الدالة المعرفة على
لأنها دالة كثير حدود فهي مستمرة على المجال R مستمرة على الدالة
و لدينا
. و نلاحظ أن العدد 0 محصور بين العدديـن
. تـقبل حلا على الأقـل في المجال إذن حسب مبرهنة القيم المتوسطة ، المعادلة
تمرين 13:
. تقبل على الأقل حلا في المجال أثبت باستعمال مبرهنة القيم المتوسطة أن المعادلة
الـحـل:
حيث : على الشكل يمكن كتابة المعادلة
: بـ R هي الدالة المعرفة على
. لأنها دالة كثير حدود فهي مستمرة على المجال R مستمرة على الدالة
و لدينا
. و نلاحظ أن العدد 0 محصور بين العدديـن
. تـقبل حلا على الأقـل في المجال إذن حسب مبرهنة القيم المتوسطة ، المعادلة
تمرين 14:
. تقبل على الأقل حلا في المجال أثبت باستعمال مبرهنة القيم المتوسطة أن المعادلة

الـحـل:
حيث: على الشكل يمكن كتابة المعادلة
: بـ R هي الدالة المعرفة على
. لأنها دالة كثير حدود فهي مستمرة على المجال R مستمرة على الدالة
و لدينا
. و نلاحظ أن العدد 0 محصور بين العدديـن
. تـقبل حلا على الأقـل في المجال إذن حسب مبرهنة القيم المتوسطة ، المعادلة
تمرين 15:
بـ: المعرفة على المجال نعتبر الدالة
. أحسب (1
. ماذا تستنتج بالنسبة للدالة ( 2
. تـقبل حلا وحيدا في المجال بين أن المعادلة ( 3
الـحـل:
، ولدينا: قابلة للاشتقاق على المجال الدالة (1
، لدينا : من المجال من أجل كل عدد حقيقي ( 2
. متزايدة تماما على المجال إذن الدالة
. لأنها دالة كثير حدود فهي مستمرة على المجال R مستمرة على الدالة(3
و لدينا
و نلاحظ أن العدد 0 محصور بين العدديـن
. في المجال تقـبل على الأقـل حلا إذن، حسب مبرهنة القيم المتوسطة، المعادلة
وحيد. فإن متزايدة تماما على المجال وبما أن الدالة
تمرين 16:
بـ : المعرفة على المجال نعتبر الدالة
. ثم شكل جدول تغيرات الدالة أحسب (1
. تقـبل حلا وحيدا في المجال بين أن المعادلة ( 2
الـحـل:
ولدينا: قابلة للاشتقاق على المجال الدالة (1
أي
أو إذا كان يكون
، ، ،
: جدول تغيرات الدالة
x –2 0 1 2

+ 0 – 0 +



–1 3


–29 –2

. لأنها دالة كثير حدود فهي مستمرة على المجال R مستمرة على الدالة (2
و لدينا:
و نلاحظ أن العدد 0 محصور بين العدديـن
. في المجال تقـبل على الأقـل حلا إذن، حسب مبرهنة القيم المتوسطة، المعادلة
وحيد. فإن متزايدة تماما على المجال وبما أن الدالة
تمرين 17:
: بـ R المعرفة على نعتبر الدالة
. ثم شكل جدول تغيرات الدالة أحسب (1
. في المجال تقـبل حلا وحيدا بين أن المعادلة ( 2
. سعـته أوجد حصرا للعـدد (3

الـحـل:
، ولدينا: R قابلة للاشتقاق على الدالة (1
، لدينا : من أجل كل عدد حقيقي
. R متزايدة تماما على إذن الدالة


: جدول تغيرات الدالة
x


+







. لأنها دالة كثير حدود فهي مستمرة على المجال R مستمرة على الدالة (2
لدينا
و نلاحظ أن العدد 0 محصور بين العدديـن
. في المجال تقـبل على الأقـل حلا إذن، حسب مبرهنة القيم المتوسطة، المعادلة
وحيد . فإن متزايدة تماما على المجال وبما أن الدالة
: سعـته إيجاد حصرا للعـدد (3
: بخطوة إذن نتبع طريقة مسح المجال بما أن
لدينا


. و نلاحظ أن العدد 0 محصور بين العدديـن
: إذن
تمرين 18:
: بـ المعرفة على المجال نعتبر الدالة
. f ثم شكل جدول تغيرات الدالة أحسب (1
. في المجال تقـبل حلا وحيدا بين أن المعادلة (2
. سعـته باستعمال حاسبة ، أوجد حصرا للعـدد (3
الـحـل:
، ولدينا: لأنها دالة كثير حدود فهي تقبل الإشتقاق على المجال R قابلة للاشتقاق على الدالة (1
أي
أو إذا كان يكون
،
: جدول الإشارة




+ – +


: جدول تغيرات الدالة
x 1 3

– 0


3


–5

. لأنها دالة كثير حدود فهي مستمرة على المجال R مستمرة على الدالة (2
و لدينا
و نلاحظ أن العدد 0 محصور بين العدديـن
. في المجال تقـبل على الأقـل حلا إذن، حسب مبرهنة القيم المتوسطة، المعادلة
وحيد . فإن متناقصة تماما على المجال f وبما أن الدالة
سعـته إيجاد حصرا للعـدد (3
: بخطوة إذن نتبع طريقة مسح المجال بما أن
: بخطوة نتبع أولا طريقة مسح المجال








و نلاحظ أن العدد 0 محصور بين العدديـن
: إذن
: بخطوة نتبع اﻵن طريقة مسح المجال



إذن:






تمرين 19:
:كالتالي يعطى جدول تغيرات دالة
x –4 2 7


1 6


–5

عدد حقيقي معطى . حيث في المجال عين عدد حلول المعادلة
الـحـل:
. لا تقبل حلولا في المجال فإن المعادلة ﺇذا كان 
. تقبل حلا مضاعفا في المجال فإن المعادلة ﺇذا كان 
. تقبل حلـيـن في المجال فإن المعادلة ﺇذا كان 
. تقبل حلا وحيدا في المجال فإن المعادلة ﺇذا كان 
. لا تقبل حلولا في المجال فإن المعادلة ﺇذا كان 
تمرين 20:
كما يلي : دالة معرفة على المجال
. و شكل جدول تغيرات الدالة أحسب (1
. في المجال حلا وحيدا أثبت أن للمعادلة( 2
. استنتج أن: ( 3
الـحـل:
و لدينا: قابلة للاشتقاق على المجال الدالة(1
إذن:
أو معناه
أو أي
أو ومنه
و يكون على المجال
ومنه
متناقصة تماما على المجال إذن الدالة
: f جدول تغيرات الدالة
x 0


0 – 0


2


–2
. فهي مستمرة على المجال R مستمرة على f الدالة (2
و لدينا
. و نلاحظ أن العدد 0 محصور بين العدديـن
. في المجال تقـبل على الأقـل حلا إذن، حسب مبرهنة القيم المتوسطة، المعادلة
وحيدا. فإن متناقصة تماما على المجال وبما أن الدالة
فإن : حلا للمعادلة بما أن ( 3
معناه
و لدينا
تصبح: (1) عندئذ المساواة

ومنه
ومنه ومنه
ومنه
ومنه
ومنه
ومنه
ومنه
إذن
تمرين 21:
بحيث: دالة معرفة ومستمرة على المجال
و
بحيث: المجال من بين أنه يوجد عدد حقيقي

الـحـل:
المعرفة بـ : نعتبر الدالة
فرضا. مستمرة على المجال الدالة
. فهي مستمرة على المجال R مستمرة على الدالة
. المجال مستمرة على إذن الدالة

فإن بما أن

فإن بما أن
و مستمرة على المجال الدالة
. بحيث من المجال على الأقـل عدد حقيقي إذن، حسب مبرهنة القيم المتوسطة، يوجد
معناه
و منه
. بحيث: من المجال إذن يوجد عدد حقيقي

تمرين 22:
بحيث من أجل كل عدد حقيقي دالة معرفة ومستمرة على المجال
. ، من المجال
. بحيث: من المجال بين أنه يوجد على الأقل عدد حقيقي
الـحـل:
المعرفة بـ : نعتبر الدالة
فرضا . مستمرة على المجال الدالة
. فهي مستمرة على المجال R مستمرة على الدالة
. المجال مستمرة على إذن الدالة

إذن فإن بما أن

إذن فإن بما أن
و و بالتالي
و منه فإن إذا كان
و منه فإن إذا كان
و فإن و إذا كان
و مستمرة على الدالة
. بحيث من المجال على الأقـل عدد حقيقي إذن، حسب مبرهنة القيم المتوسطة، يوجد
ومنه
ومنه
. بحيث من المجال إذن يوجد على الأقل عدد حقيقي
تمرين 23:
عددان حقيقيان موجبان. ، . دالة مستمرة على المجال
: يحقـق من المجال برهن أنه يوجد على الأقل عدد حقيقي
الـحـل:
حيث: فإن مستمرة على المجال بما أن
. هي القيمة العظمى للدالة هي القيمة الصغرى و
و ومنه
و لأن و بالتالي:
بالجمع طرفا طرفا نجد:

لأن إذن
بحيث : من المجال على الأقـل عدد حقيقي إذن، حسب مبرهنة القيم المتوسطة، يوجد

بحيث: من المجال إذن يوجد على الأقل عدد حقيقي
.














والله ولي التوفيق